5G LDPC - Base Matrices

Describing 5G LDPC base matrix and how to construct it

1. Overview

Ma trận cơ sở B là một trong những thông tin cần phải được hiểu rõ trong khi tìm hiểu giải thuật mã hóa và giải mã LDPC. Ma trận này khi được triển khai trên FPGA sẽ được lưu dưới dạng ROM, hay nói cách khác chúng sẽ được tính toán trước (pre-computed) thay vì tính toán on-fly. Phần dưới đây sẽ mô tả các đặc tính của một ma trận cơ sở cũng như cách chúng được xây dựng.

2. Base matrix (B) and parity check matrix (H)

Ma trận cơ sở B là một ma trận có kích thước như sau:

Ma trận H được tạo thành từ việc thay thế các phần tử của ma trận cơ sở B, bằng các ma trận có kích thước Zc x Zc. Cụ thể, các phần tử của ma trận cơ sở sẽ có một trong các giá trị sau và tương ứng là ma trận kích thước ZcxZc

Giá trị Ý nghĩa
-1 Ignore <=> Ma trận 0
0 Ma trận I (Identity matrix)
\(Zc > a > 0\) Ma trận I được shift phải \(a\) lần


Hình dưới đây là một ví dụ. Với expansion factor = 5 hay Zc = 5 (Một số tài liệu họ gọi là lifting factor hay có thể ký hiệu là Z). Chi tiết về Zc có thể xem tại đây.

3. Base matrix structure

Ma trận cơ sở có kích thước khác nhau ứng với mỗi loại base graph. Tuy nhiên, chúng đều có chung một cấu trúc như sau:

\[B = \left[\begin{array}{cc} A & E & O \\ C_1 & C_2 & I \end{array}\right]\]

Trong đó, kích thước của từng ma trận sẽ là:

Ma trận Base graph 1 Base graph 2
A 4 x 22 4 x 10
E 4 x 4 4 x 4
\(C_1\) 42 x 22 38 x 10
\(C_2\) 42 x 4 38 x 4
O 4 x 42 4 x 38
I 42 x 42 38 x 38

Ma trận \(A, E\) được sử dụng để tính 4 parity bit đầu tiên (Ký hiệu: \(p_a\)).

Ma trận \(C_1, C_2\) được sử dụng cùng với 4 parity bit đầu tiên {\(p_{a_1}, p_{a_2}, p_{a_3}, p_{a_4}\)} để tính các parity bit còn lại (Ký hiệu: \(p_c\)).

Ma trận \(O, I\) có thể bỏ qua trong quá trình tính toán.

Để dễ hiểu hơn, ta có thể nhìn vào hình sau:

Ma trận \(E\) là một ma trận đặc biệt có tên gọi “Ma trận đường chéo đôi” (Double diagonal matrix). Đặc tính của ma trận này, giúp việc tính toán 4 parity bits (\(p_a\)) trở lên đơn giản và hiệu quả hơn. Cụ thể, quá trình tính toán sẽ được mô tả ở bài viết 5G LDPC encoder.

4. How to construct 5G LDPC base matrices

Ma trận cơ sở B sẽ được xây dựng dựa trên ba tham số { NBG, \(i_{LS}\), \(Z_{c}\) }

Từ tham số NBG và \(i_{LS}\), ta sử dụng bảng 5.3.2-2 và 5.3.2-3 trong 3GPP-38.212 (Section 5.3.2) để xây dựng lên base matrix cho giá trị \(Z_c\) lớn nhất.

Ví dụ

NBG = 2 (Base graph 2), \(i_{LS} = 6\). Tra theo bảng 5.3.2-3

Ta sẽ có base matrix của \(Z_c = 208\) sẽ là:

\[B = \left[\begin{array}{cc} 143 & 19 & 176 & 165 & -1 & -1 & 196 & -1 & -1 & 13 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & ... \\ 18 & -1 & -1 & 27 & 3 & 102 & 185 & 17 & 14 & 180 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & ... \\ ... \end{array}\right]\]

Với các trường hợp còn lại của \(Z_c = 13, 26, 52, 104\) ứng với \(i_{LS} = 6\). Giá trị của mỗi element sẽ được tính theo công thức:

\[b = a \bmod Zc (1)\]

Trong đó:

Khi \(Z_c = 13\) thì ma trận B sẽ trở thành:

\[B = \left[\begin{array}{cc} 0 & 6 & 7 & 9 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & ... \\ 5 & -1 & -1 & 1 & 3 & 11 & 3 & 4 & 1 & 11 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & ... \\ ... \end{array}\right]\]

Kết luận

5. Precomputed base matrices

102 ma trận cơ sở của 5G LDPC có thể xem tại đây

6. References

3GPP - 38.212 - section 5.3.2